И вот я совершенно не понимаю, что можно сделать, чтобы легализовать свое нахождение здесь, ибо виза уже 3 месяца как просрочена, и, если останусь, до конца учебы, то будет просрочена на 7 месяцев, а будущего запрета на въезд в Аргентину ой как не хочется.

На факультете и отделе международных отношений мне повторили уже то, что было сказано ранее, но начали делать запросы чтобы иметь право вписать меня в систему(ну это по их словам), в итоге через почти 2 месяца, они опять повторили, что этой системы для курсов такого рода не существует

Оказывается, что эту констанцию делают по интернет на странице миграционной службы, но сделать ее могут только зарегистрированные пользователи, то есть университет должен быть зарегистрирован на сайте, а так как он принимает иностранных студентов, то 100%, что на сайте миграционки он зарегистрирован, ничего сложного нет, было бы желание.

Astkhik
Как пример, посмотрите на странице университета Буэнос-Айреса в разделе посградо довольно подробно описан процесс, в том числе написано, что "Constancia de Inscripción Electrónica la que será emitida por el Departamento de Posgrado."

Может распечатать и показать это международному отделу университета Кордобы?

Один из планов был вернуться на 1, 2-месяца, и потом вернуться в феврале поступать уже в университет, уже в Буэнос Айрес.

Я правильно понимаю, что даже если без проблем выеду в ноябре, то надо будет ждать 6 месяцев, чтобы снова въехать как турист?

Да. Если хотите въехать без визы. Только наверно не 6 месяцев, а 3 месяца.